Maxime Javelly
Collège
Riez
 

correction brevet blanc mathématiques mai 2010

jeudi 6 mai 2010, par Lada Arnaud

C’est la correction du brevet blanc pour avoir tous les détails ( l’éditeur d’équation est capricieux) consultez le document attaché.

Brevet blanc n° 2 Mai 2008

Partie numérique

Exercice 1 (3,5 points : 1 + 1 + 1 + 0,5)

Soit E = \left( {2}x+{6}\right) ^2 – \left( {2}x+{6}\right) \left( x–{5}\right)

  1. Développer et réduire E .

E = {4}x^2 + {12}x +{36} – [{2}x^2 – {10}x + {6}x – {30}]

E = {4}x^2 + {12}x + {36} – {2}x^2 +{10}x + {6}x + {30}

E = {2}x^2 + {28}x + {66}

  1. Factoriser E.

le facteur commun est {2}x+{6}

E = \left( {2}x+{6}\right) ^2 – \left( {2}x+{6}\right) \left( x–{5}\right)

E = \left( {2}x+{6}\right) \left( '{2}x+{6}\right)   – \left( {2}x+{6}\right) \left( x–{5}\right)

E = \left( {2}x+{6}\right) [ \left( {2}x+{6}\right)  – \left( x–{5}\right) ]

E = \left( {2}x + {6}\right) [ {2}x+{6} – x +{5}]

E = \left( {2}x + {6}\right) \left(  x + {11}\right) (Oh c’est bizarrement l’expression factorisée de 3 .)

  1. Résoudre l’équation-produit :\left( {2}x + {6}\right) \left(  x + {11}\right)  = {0}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un facteur est nul.

Soit {2}x + {6} = {0} soit x+{11} = {0}

{2}x = –{6} ou x = –{11}

x = –{3} ou x = –{11}

L’équation a deux solutions -11 et -3

  1. Calculer E pour x = 5 , puis pour x = -3

je choisis de prendre l’expression factorisée trouvée en 2 ( et vérifiée par 3.)

pour x = 5

\left( {2}x+{6}\right) \left( x+{11}\right)

= (10+6)(16)

= 16²

E = 256 pour x = 5

pour x = -3

E vaut 0 d’après 3. !

exercice 2 .

C = {\frac{3} {7}} – {\frac{2} {5}}  \times {\frac{15} {4}}

C = \frac{3} {7} – {2}  \times {5} \times \frac{3} {{5}\times {2} \times {2}} ( je simplifie pour rendre les calculs plus simples)

C = \frac{3} {7} – \frac{3} {2}

C = \frac{6} {14} – \frac{21} {14}

C = –\frac{15} {14}

exercice 3

B= \sqrt {150}–{3}\sqrt{24}+{2}\sqrt{54}

B = \sqrt{{6} \times {25}}–{3}\sqrt{{6} \times {4}}+{2}\sqrt{{9} \times {6}}

B = \sqrt{25} \times \sqrt{6} –{3}\sqrt{4} \times \sqrt{6}+{2}\sqrt{9} \times \sqrt{6}

B={5}\sqrt{6}–{3} \times {2} \times \sqrt{6}+{2} \times {3}\sqrt{6}

B= \sqrt{6}–{6}\sqrt{6}+{6}\sqrt{6}

B= \sqrt{6}

exercice 4

  1. f nitalic: x \frac{2} {3}x
  2. a/

f(-3) = \frac{2} {3} \times \left( –{3}\right) = –\frac{6} {3} = -2

l’image de -3 est -2

On cherche x tel que \frac{2} {3}x= -5

x = -{5} \times \frac{3} {2} = –\frac{15} {2}

2.

Pour g

a/ l’image de -1 est 2

b/ l’antécédent de -3 est 1,5

c/ Bien sûr, la fonction a pour coefficient-2

g  nitalic: x –{2}x

exercice 5

Dans une entreprise, les salaires ont augmenté de 2% au mois de février.

  1. Calculer le nouveau salaire d’un employé payé 1400 € au mois de janvier.

Calculons 2% de 1400€

\frac{2} {100} \times {1400} = \frac{2800} {100} = 28

L’augmentation est de 28€ donc l’employé est maintenant payé 1428€

2. On note x le salaire en janvier. En fonction de x , exprimer le montant de l’augmentation du mois de février.

 Montrer ensuite que le nouveau salaire s’écrit : .1,02x

L’augmentation est de 2% de x soit

\frac{2} {100} \times x = {0,02}x

Le nouveau salaire s’écrit

x +{0,02}x = {1,02}x

Partie géométrique

Exercice 1 (4,5 points : 1,5 + 1 + 2)

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

On ne demande pas de la reproduire.

Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.

Le triangle ABC est rectangle en B.

Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres :

BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.

  1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.

Calculons CE² et CD² + DE²

CE² = 10,4² = 108,16

pour CD² + DE²

CD² + DE² = 9,6² + 4² = 92,16 + 16= 108,16

Comme CE² = CD² + DE²,alors CDE est rectangle d’après la réciproque du théorème de ¨Pythagore.

  1. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

(AB) et (DE) sont perpendiculaires à (BC) donc (AB) est parallèle à (DE)

car « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles »

  1. Calculer les longueurs AB et AC.

Nous venons de démontrer que (AB) est parallèle à (DE) ( et nous savons que A,C,E alignés ainsi que BCD)

nous pouvons appliquer le théorème de Thalès, ici

\frac{CB}{CD} = \frac{CA}{CE} = \frac{AB}{DE}

\frac{12} {9,6} = \frac{CA}{10,4} = \frac{AB}{4}

il vient

CA = {12} \times \frac{10,4} {9,6} = 13 cm

et

AB = {4} \times \frac{12} {9,6} = 5 cm

Exercice 2 (4,5 points : 0,5 + 1 + 2 + 1)

La pyramide SABCD ci-contre a pour base le rectangle

ABCD et pour hauteur le segment [SA].

L’unité de longueur est le centimètre.

On donne AB = 8,2 et SA = 4.

On donne également  \widehat{ASD} = 30°.

 

1. Donner, sans les justifier, la nature du triangle SAB et

celle du triangle SAD.

 

Les triangles SAB et SAD sont rectangles en A

2. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle  \widehat{SBA}

 

Comme SAB rectangle alors

\tan\left(  \widehat{SAB}\right) = \frac{SA}{AB}

\tan\left(  \widehat{SAB}\right)  = 4/8,2

A la calculatrice

 \widehat{SAB} ≈ 26°

3. Calculer la valeur arrondie au millimètre de SD, puis la

valeur arrondie au millimètre de AD.

 Comme SAD rectangle alors

cos(  \widehat{ASD}) = \frac{SA}{SD}

cos ( 30) = \frac{4} {SD}

SD = \frac{4} {\cos}\left( {30}\right) ≈ 4,6 cm

Pour AD de même on a

tan(  \widehat{ASD}) = \frac{AD}{AS}

tan(30) = \frac{AD} {4}

AD = 4*tan(30) ≈ 2,3 cm

4. Calculer le volume de la pyramide.

V = B \times \frac{h}{3} où B est un rectangle d’aire L  l ≈8,2*2,3 ≈18,86 cm²

V ≈ {18,86} times
 \frac{4}  {3}≈ 25,15 cm3

Exercice 3 (3 points : 2 + 1)

Un menuisier doit tailler des boules de bois de 10 cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d’escalier. Il confectionne d’abord des cubes de 10 cm d’arête dans lesquels il taille chaque boule.

 

  1. Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm3 près) de bois perdu, une fois la boule taillée.

Rappel : le volume d’une boule de rayon R est : \frac{4} {3}  \pi  R^3.

On va calculer le volume du cube et enlever le volume de la boule

Vcube- Vboule

= c^3 - \frac{4} {3}  \pi  R^3

= {10}^3\frac{4} {3} \pi  \times {5}^3

= 1000- \frac{4}{3}  \pi  \times {125}

= 1000- 523,6

= 476,4 cm3

2. Faire une figure de la boule dans le cube, en respectant les longueurs données.

problème

Un viticulteur propose un de ses vins aux deux tarifs suivants :

— Tarif 1 : 7,5 € la bouteille, transport compris ;

— Tarif 2 : 6 € la bouteille, mais avec un forfait de transport de 18 €.

 

  1. Remplir le tableau donné
Nbre de bouteilles 1 5 \frac{78 –18}  {6} = 10 97,5 : 7,5 = 13 15
Prix tarif 1 7,5 5  7,5 = 37,5 75 97,5 112,5
Prix tarif 2 6 + 18 = 24 48 78 96 108

2) Exprimer le prix payé par le consommateur en fonction du nombre x de bouteilles achetées.

Pour le tarif 1, le prix sera noté P1.Pour le tarif 2, le prix sera noté P2.

On a P1(x) = {7,5}x et P2(x) = {6}x + {18}

On retrouve les fonctions de la question 3 !!!

3) Tracer, sur une feuille de papier millimétré (fournie en annexe), les représentations graphiques des fonctions f et g définies par :

f ( x ) = 7 , 5 x  et   g ( x ) = 6 x + 18

 pour des valeurs de x comprises entre 0 et 15.

On placera l’origine dans le coin inférieur gauche de la feuille et on prendra les unités suivantes :

— Sur l’axe des abscisses : 1 cm représente 1 bouteille.

— Sur l’axe des ordonnées : 1 cm représente 10 euros.

Pour les questions 4) et 5) , on laissera sur le graphique les traits de rappel utilisés pour faciliter la lecture.

4) Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique :

a) On veut acheter 6 bouteilles. Quel est le tarif le plus avantageux ?

Graphiquement le tarif 1(fonction f) est le plus avantageux

b) On dispose de 70 euros. Lequel des deux tarifs permet d’acheter le plus grand nombre de bouteilles ?Précisez ce nombre de bouteilles.

Graphiquement, le tarif 1 permet d’acheter le maximum de bouteilles et on lit 9 bouteilles alors que le tarif 2 ne permet l’achat que de 8 bouteilles.

5) Utilisation du graphique, vérification par le calcul.

a) Déterminer graphiquement pour combien de bouteilles le prix de revient est identique, quel que soit le tarif choisi. Donner ce nombre de bouteilles. Quel est le prix correspondant ?

Pour 12 bouteilles, les tarifs semblent identiques sur le graphique pour un prix de 90€

b) Vérifier ces résultats en résolvant une équation.

{7,5}x = {6}x +{18}

{1,5}x = {18}

x = \frac{18} {1,5} = {12}

Par le calcul, on retrouve 12 bouteilles.

 
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